题目
写一个函数，输入 n ，求斐波那契（Fibonacci）数列的第 n 项（即 F(N)）。斐波那契数列的定义如下：
1
2
| F(0) = 0, F(1) = 1
F(N) = F(N - 1) + F(N - 2), 其中 N > 1.
|
斐波那契数列由 0 和 1 开始，之后的斐波那契数就是由之前的两数相加而得出。
答案需要取模 1e9+7（1000000007），如计算初始结果为：1000000008，请返回 1。
实例1
题解
矩阵快速幂
动态规划的时间复杂度是O(n)。使用矩阵快速幂的方法可以降低时间复杂度。
首先我们可以构建这样一个递推关系:
因此只要我们能快速计算矩阵M的n次幂，就可以得到F(n)的值。如果直接求取Mn,时间复杂
度是O(n),可以定义矩阵乘法，然后用快速幂算法来加速这里Mn的求取。
计算过程中，答案需要取模1e9+ 7。
代码
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| class Solution {
static final int MOD = 1000000007;
public int fib(int n) {
if (n < 2) {
return n;
}
int[][] q = {{1, 1}, {1, 0}};
int[][] res = pow(q, n - 1);
return res[0][0];
}
public int[][] pow(int[][] a, int n) {
int[][] ret = {{1, 0}, {0, 1}};
while (n > 0) {
if ((n & 1) == 1) {
ret = multiply(ret, a);
}
n >>= 1;
a = multiply(a, a);
}
return ret;
}
public int[][] multiply(int[][] a, int[][] b) {
int[][] c = new int[2][2];
for (int i = 0; i < 2; i++) {
for (int j = 0; j < 2; j++) {
c[i][j] = (int) (((long) a[i][0] * b[0][j] + (long) a[i][1] * b[1][j]) % MOD);
}
}
return c;
}
}
|